Matematikte bazen kapı açılmaz. Anahtarı çevirirsiniz, denklem direnç gösterir, gerçek sayılarla ilerlersiniz ama bir noktada duvara çarparsınız. Mesela x² + 1 = 0 denklemini ele alalım. Gerçek sayılar evreninde hiçbir sayının karesi -1 değildir. Pozitifin karesi pozitif, negatifin karesi yine pozitiftir. Sıfırın karesi de sıfırdır. O halde bu denklem çözümsüz müdür? Matematikçinin en sevdiği cevap burada sahneye çıkar: Henüz çözümsüz.
İşte i sayısı bu meydan okumadan doğar. Tanımı yalındır: i² = -1. İlk bakışta bu, çocukça bir hile gibi görünebilir. Olmayan bir sayı uydur, sonra da denklemi çözdüğünü söyle. Fakat matematikte büyük devrimlerin çoğu böyle başlar: Önce imkânsız görünen bir fikre isim verilir, sonra o isim bir evren kurar. Sıfır da bir zamanlar tuhaftı. Negatif sayılar borçtan başka bir şey değil sanılıyordu. Kesirler, irrasyoneller, sonsuzluklar… Matematik tarihi, aklın kendi sınırlarını genişletme tarihidir.
Hayali değil, genişletilmiş gerçeklik
Kompleks sayılar a + bi biçiminde yazılır. Burada a gerçek kısım, b ise sanal kısımdır. Sanal kelimesi biraz talihsizdir; çünkü i sayısı masal kahramanı değildir. Cebirsel olarak tutarlı, geometrik olarak gösterilebilir, fiziksel dünyayı modellemede şaşırtıcı derecede etkilidir. Daha doğru bir ad belki de dikey sayı olurdu. Çünkü kompleks düzlemde gerçek sayılar yatay eksende, i içeren sayılar dikey eksende yer alır. Böylece sayılar tek boyutlu bir çizgiden çıkar, iki boyutlu bir düzleme yayılır.
Bu geçiş küçük görünür ama düşünsel olarak muazzamdır. Gerçek sayılarla sadece sağa sola yürürken, kompleks sayılarla dönebilir, salınabilir, dalga çizebilir, bir hareketin hem büyüklüğünü hem yönünü aynı anda taşıyabilirsiniz. Bir kompleks sayıyı çarpmak, çoğu zaman bir şeyi yalnızca büyütmek değil, aynı zamanda döndürmek anlamına gelir. i ile çarpmak, geometrik olarak 90 derece döndürmektir. i² ile çarpmak, 180 derece dönmek; yani -1 ile çarpmaktır. Birdenbire -1’in karekökü, sisli bir paradoks olmaktan çıkar ve dönüşün dili haline gelir.
Denklem çözücüden dünya kurucuya
Kompleks sayıların ilk büyük gücü cebirde görülür. Polinom denklemleri, gerçek sayılarla bazen eksik kalır. Fakat kompleks sayılar dünyasında işler olağanüstü düzenlidir. Cebirin temel teoremine göre, derecesi n olan her polinomun kompleks sayılar içinde tam n kökü vardır. Yani kompleks sayılar, cebirin dağınık odasına raf sistemi getirir. Çözümsüzlük azalır, yapı belirginleşir, denklemler daha derin bir simetri kazanır.
Ama hikâye sadece matematiksel temizlikten ibaret değildir. Elektrik mühendisliğinde alternatif akım devrelerini anlamak için kompleks sayılar kullanılır. Çünkü akım ve gerilim yalnızca büyüklüklerden ibaret değildir; aralarında faz farkı vardır. Yani biri diğerinden önce ya da sonra salınır. Kompleks sayılar bu faz ilişkilerini zarif biçimde hesaplamamızı sağlar. Sinyal işleme, görüntü analizi, radar, telekomünikasyon, kuantum mekaniği ve kontrol sistemleri de aynı soyut aracın gücünden yararlanır.
Özellikle kuantum fiziğinde durum daha da çarpıcıdır. Elektronun, fotonun ya da atom altı sistemlerin davranışını anlatan dalga fonksiyonları çoğu zaman kompleks değerler taşır. Doğrudan ölçtüğümüz şey i değildir; fakat ölçüm olasılıklarını hesaplayan matematiksel yapı onsuz eksik kalır. Yani gerçek dünyada i diye bir taş bulamayız, ama taşların, ışığın ve atomların davranışını anlamak için i’nin kurduğu dili konuşuruz.
Uydurmak bazen keşfetmektir
Burada felsefi bir kıvılcım da var: Matematik icat mı edilir, keşfedilir mi? i sayısı başlangıçta insan zihninin cesur bir icadı gibi görünür. Fakat icat edildikten sonra öyle kurallar, bağlantılar ve uygulamalar üretir ki, sanki başından beri doğanın dokusunda saklıymış hissi verir. Bu, iyi bir harita yapmaya benzer. Harita kâğıt üzerindedir, dağ değildir; ama dağın yolunu bulduruyorsa gerçeklikle güçlü bir bağı vardır.
Kompleks sayılar bize düşünmenin önemli bir ilkesini öğretir: Bir sorun çözümsüz görünüyorsa, belki de yanlış evrende çözmeye çalışıyoruzdur. x² + 1 = 0 denklemi gerçek sayılar çizgisinde kapalı bir kapıdır; kompleks düzlemde ise sıradan bir geçittir. Bazen çözüm daha fazla zorlamakta değil, uzayı genişletmektedir. Matematik burada yalnızca hesap yapmaz; zihne strateji öğretir.
Bu yüzden i sayısı hayali olduğu için zayıf değil, hayal edilebildiği için güçlüdür. Gerçekliği taklit etmez; gerçekliği daha iyi kavrayacağımız bir dil açar. Bir zamanlar denklemleri kurtarmak için sahneye çağrılan bu küçük sembol, bugün telefonlarımızın sinyallerinden kuantum teorisinin kalbine kadar dolaşır. Demek ki bazı hayaller, yeterince tutarlı olduklarında, dünyanın çalışma biçimini açıklayan en sağlam araçlara dönüşebilir.