Düz bir çizgi iki nokta arasındaki en kısa yoldur. Bir kağıdın üzerinde bu durum kesinlikle doğru. Peki ama, eğri bir yüzey üzerinde? Diyelim ki, dünyanın yüzeyi üzerinde? Londra ve New York arasındaki en kısa rotayı seçen bir uçak düşünün. Uçak nasıl bir rota izleyecektir? Uzaydan bakan bir gözlemci için bu rotanın eğik olacağı açık bir şekilde ortadadır. Ya da engebeli bir arazi üzerinde ilerleyen bir dağcıyı düşünelim. Onun rotası nasıl olur? Bu dağcıyı, arazi engebelerinin ayırt edilemeyeceği kadar yüksek bir noktadan seyreden gözlemci için, dağcı oldukça dolambaçlı bir şekilde ileri-geri hareket edip duracaktır.
O halde, sanılanın aksine, iki nokta arasındaki en kısa mesafenin her zaman düz bir çizgi olması gerekmiyor. Aslına bakacak olursanız, düz bir çizgi ancak özel bir tür yüzey üzerinde var olabilir – düz bir yüzey üzerinde. Dünyanınki gibi eğri bir yüzey üzerinde, iki nokta arasındaki en kısa mesafe her zaman eğri olmak durumundadır. Bu gerçeğin fark edilmesiyle matematikçiler, düz çizgi kavramını eğik yüzeyleri de dahil edecek şekilde yeniden tanımladı. Yalnızca düz değil, her türlü yüzey üzerinde iki nokta arasındaki en kısa rotaya jeodezik adı verildi.
