Sonsuzluk kulağa tek parça bir ejderha gibi gelir: sonu yoksa sonu yoktur, daha ne olsun? Fakat Georg Cantor sahneye çıkıp bu ejderhanın pullarını tek tek saymaya kalkışınca matematik tarihinde tuhaf bir şey oldu. Sonsuzluğun da boyları, katları, hatta birbirine denk olmayan türleri olduğu ortaya çıktı. Üstelik bunu göstermek için dev teleskoplara, kuantum bilgisayarlara ya da mistik sezgilere gerek yoktu. Bir liste, biraz mantık ve zekice çizilmiş bir köşegen yeterliydi.
Önce basit bir ayrım yapalım. Doğal sayılar, yani 1, 2, 3, 4 diye giden sayılar sonsuzdur. Çift sayılar da sonsuzdur: 2, 4, 6, 8… İlk bakışta çift sayılar daha az gibi görünür, çünkü doğal sayıların yalnızca yarısıdır. Ama Cantor bize şunu sorar: Her doğal sayıyı tam bir çift sayıyla eşleştirebilir miyiz? Evet. 1 ile 2, 2 ile 4, 3 ile 6, 4 ile 8… Herkese bir partner var, kimse açıkta kalmıyor. Demek ki bu iki sonsuzluk aynı büyüklükte. Garip ama mantıklı.
Bu tür sonsuzluklara sayılabilir sonsuzluk denir. Sayılabilir olmak, gerçekten bitirerek saymak anlamına gelmez; elemanları bir sıraya dizip her birine bir doğal sayı etiketi verebilmek demektir. Şaşırtıcı biçimde tam sayılar ve hatta rasyonel sayılar da, yani kesirler de sayılabilir sonsuzdur. Biraz düzenleme hilesiyle hepsi sıraya sokulabilir. Buraya kadar sonsuzluk hâlâ ehlileştirilebilir bir hayvan gibidir.
Asıl darbe: Gerçek sayılar
Şimdi 0 ile 1 arasındaki gerçek sayıları düşünelim. 0,1; 0,25; 0,3333…; pi sayısının uygun bir parçası; kök 2’nin ondalık gölgesi… Bu aralık küçücük görünür, neredeyse bir cetvelin iki çizgisi arası kadar. Fakat Cantor der ki: Bu küçücük aralıktaki sayılar, doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluğa sahiptir. İşte köşegen argümanı burada devreye girer.
Varsayalım ki biri karşımıza çıktı ve 0 ile 1 arasındaki bütün gerçek sayıları listelediğini söyledi. Her sayı sonsuz ondalık basamaklarıyla yazılmış olsun. Liste şöyle hayal edilebilir: birinci satırda bir sayı, ikinci satırda başka bir sayı, üçüncü satırda başka bir sayı… Eğer gerçekten tüm sayılar listelendiyse, aradığımız her sayı bu satırlardan birinde bulunmalı.
Cantor’un hamlesi şudur: Listedeki birinci sayının birinci basamağına bak, ikinci sayının ikinci basamağına bak, üçüncü sayının üçüncü basamağına bak; böylece aşağı doğru bir köşegen çiz. Sonra yeni bir sayı üret: Her köşegen basamağını değiştir. Örneğin basamak 5 ise 6 yap, değilse 5 yap. Böylece yeni sayının birinci basamağı listedeki birinci sayıdan farklı, ikinci basamağı ikinci sayıdan farklı, üçüncü basamağı üçüncü sayıdan farklı olur. Genel olarak yeni sayı, listenin n’inci satırındaki sayıdan n’inci basamakta farklıdır.
Bu ne demektir? Ürettiğimiz yeni sayı listede olamaz. Çünkü listede hangi satırı gösterirsen göster, o satırdaki sayıdan en az bir basamakta ayrılıyor. Ama başta listenin tüm gerçek sayıları içerdiğini varsaymıştık. Çelişki! Demek ki böyle eksiksiz bir liste mümkün değildir. 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar sayılabilir değildir. Doğal sayıların sonsuzluğu bir seviye ise, gerçek sayıların sonsuzluğu başka, daha geniş bir seviyedir.
Bu kanıtın güzelliği şurada: Bir şeyi tek tek göstererek değil, imkânsızlığını çıplak mantıkla açığa çıkararak ilerler. Sanki evrenin kütüphanesine girip tüm kitapların kataloğunu bulduğunu sanıyorsun; Cantor ise kataloğun içinden, katalogda bulunmayan yeni bir kitap yazıyor. Hem de bunu rastgele değil, sistematik biçimde yapıyor. Her satıra karşı bir hamle, her iddiaya karşı kesin bir ayrım.
Köşegen argümanı yalnızca matematiksel bir numara değildir; düşüncenin disiplinli bir başkaldırısıdır. Bize şunu öğretir: Sezgi bazen güvenilmezdir. Küçük görünen bir aralık, bütün sayma çabalarımızdan daha kalabalık olabilir. Sonsuzluk, tek bir karanlık okyanus değil; derinlikleri farklı, haritaları farklı, kuralları farklı denizlerin toplamıdır. Cantor’un köşegeni de bu denizlerin üzerinde çizilmiş ince ama keskin bir yıldırım izidir.