Etiket: kümeler

Bir otel düşünün: Odaları 1, 2, 3 diye sonsuza kadar gidiyor. Sonsuz koridor, sonsuz kapı, sonsuz anahtar. Üstelik otel tamamen dolu. Her odada bir müşteri var. Normal bir resepsiyonist burada çaresiz kalırdı; kahvesini bırakır, yüzünü buruşturur ve boş oda yok derdi. Ama burası Hilbert’in Sonsuzluk Oteli. Burada mantık, günlük sezgimizin üniformasını çıkarıp matematiğin tuhaf ama kesin kıyafetlerini giyer.

Önce daha basit bir ısınma yapalım: Tamamen dolu bu sonsuz otele tek bir yeni müşteri gelsin. Finite, yani sonlu bir otelde bu imkansızdır. 100 odalı otelde 100 kişi varsa, 101. kişiye yer açamazsınız. Fakat sonsuz otelde resepsiyonist hoparlörden şu anonsu yapar: Her müşteri kendi oda numarasının bir fazlasına geçsin. 1 numaradaki 2’ye, 2 numaradaki 3’e, 3 numaradaki 4’e… Böylece herkes hâlâ bir odada kalır, kimse sokağa atılmaz ve 1 numaralı oda boşalır. Yeni müşteri içeri alınır. İlk çatlak burada oluşur: Dolu olmak, sonsuzlukta sandığımız kadar kesin bir kapı değildir.

Bir otelin tüm odalarının dolu olduğunu düşünün. Resepsiyondaki görevli, üzgün bir ifadeyle “Yerimiz yok” demek üzeredir ki kapıdan yeni bir misafir girer. Sonra görevli gülümser ve şöyle der: “Elbette yerimiz var.” Bu, kötü işletilen bir otel değil; matematikçi David Hilbert’in tasarladığı ünlü sonsuz oteldir. Otelde 1, 2, 3, 4 diye sonsuza kadar numaralanmış odalar vardır ve her odada bir müşteri kalmaktadır. Yine de yeni gelen kişi için oda bulunabilir.

Bir adım kaymak, bir oda açmak

Çözüm şaşırtıcı derecede basittir. Görevli, her konuğa mevcut oda numarasından bir sonraki odaya geçmesini söyler. 1 numaradaki müşteri 2’ye, 2 numaradaki 3’e, 3 numaradaki 4’e taşınır. Bu işlem herkes için sürer. İlk bakışta “Peki en sondaki müşteri nereye gidecek?” diye sorabilirsiniz. Fakat otelin son odası yoktur. Sayılar sonsuza doğru gider, ama hiçbir sayı “son sayı” değildir. Böylece 1 numaralı oda boşalır ve yeni misafir içeri yerleşir.