Etiket: sayılar

Sonsuzluk kelimesi günlük dilde genellikle tek bir dev gibi davranır: bitmeyen yol, tükenmeyen zaman, saymayı bıraktıran büyüklük. Fakat matematik, bu devi yakasından tutup laboratuvara sokar ve şaşırtıcı bir sonuç bulur: Sonsuzluk tek parça değildir. Bazı sonsuzluklar, başka sonsuzluklardan daha büyüktür. Evet, kulağa masal gibi gelir; ama bu masalın kahramanı peri değil, Georg Cantor adlı inatçı bir matematikçidir.

İşe en tanıdık sonsuzlukla başlayalım: doğal sayılar. 1, 2, 3, 4 diye gider. Asla bitmez. Bu sonsuzluğa sayılabilir sonsuzluk denir ve Cantor bunu alef-sıfır, yani ℵ₀ ile gösterdi. Buradaki fikir şudur: Bir kümenin elemanlarını doğal sayılarla sıraya dizebiliyorsak, o küme sayılabilir sonsuzdur. Örneğin çift sayılar da sonsuzdur: 2, 4, 6, 8… Ama şaşırtıcı biçimde doğal sayılarla aynı büyüklüktedir. Çünkü her doğal sayıya bir çift sayı eşleyebiliriz: 1→2, 2→4, 3→6. Hiç kimse açıkta kalmaz.

Burada beynimiz hafifçe itiraz eder: Nasıl olur da çift sayılar, doğal sayıların sadece yarısıyken aynı büyüklükte olur? İşte sonsuzlukta sezgilerimiz bazen eski haritalar gibi işe yaramaz. Sonlu dünyada parça bütünden küçüktür; sonsuz dünyada ise bir parça, bütünle aynı kalabalığa sahip olabilir. Matematikte büyüklük, burada ölçü bandıyla değil, eşleştirme sanatıyla anlaşılır.

Sayılabilenler ve saymayı reddedenler

Doğal sayılar, tam sayılar, hatta kesirli sayılar bile sayılabilir sonsuzdur. Kesirler ilk bakışta çok daha kalabalık görünür: 1/2, 3/7, 99/1001 ve sonsuz sayıda başka oran. Fakat onları zekice bir tabloya yerleştirip çapraz ilerleyerek tek tek listeleyebiliriz. Yavaş olabilir, zahmetli olabilir, ama mümkündür. Bu yüzden rasyonel sayılar da ℵ₀ büyüklüğündedir.

Sonra sahneye gerçek sayılar çıkar: 0 ile 1 arasındaki tüm ondalık sayılar. 0,1; 0,25; 0,333…; π’nin uygun kesitleri; köklü, irrasyonel, bitmeyen, düzensiz sayılar. Cantor burada meşhur çaprazlama argümanını kullanır. Diyelim ki biri size 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayıları listelediğini iddia ediyor. Cantor der ki: Bu listenin birinci sayısının birinci basamağını, ikinci sayısının ikinci basamağını, üçüncü sayısının üçüncü basamağını değiştirerek yeni bir sayı üretirim. Bu yeni sayı listedeki her sayıdan en az bir basamakta farklıdır. Demek ki listede yoktur. O halde liste tamamlanamaz.

Bu sonuç patlayıcıdır: Gerçek sayılar sayılamaz sonsuzdur. Onların sonsuzluğu, doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyüktür. Yani ℵ₀ ile ifade edilen sonsuzluğun üstünde, süreklilik denen daha iri bir sonsuzluk vardır. 0 ile 1 arasındaki küçücük aralık bile, tüm doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluğu barındırır. Bir santimetrelik çizgi, sayma evreninden daha kalabalıktır.

Alef sayıları: sonsuzluğun rütbeleri

Alef sayıları, sonsuz kümelerin büyüklüklerini sınıflandırmak için kullanılır. En küçüğü ℵ₀’dır. Sonra ℵ₁, ℵ₂ ve böyle devam eder. Bunlar sonsuzluğun merdiven basamakları gibidir. Fakat bu merdivende ilginç bir sis vardır: Gerçek sayıların büyüklüğü tam olarak hangi alef sayısına eşittir? ℵ₁ mi, yoksa daha yukarıda mı? Bu soru süreklilik hipotezi olarak bilinir.

Süreklilik hipotezi, kabaca şunu sorar: Doğal sayıların sonsuzluğu ile gerçek sayıların sonsuzluğu arasında başka bir sonsuzluk var mı? Cantor bunun olmadığını düşündü. Ancak 20. yüzyılda Gödel ve Cohen gösterdi ki bu ifade, standart küme teorisi aksiyomları içinde ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir. Yani matematiğin temel kurallarıyla oynadığınız oyunda, bu hipotezi kabul eden de etmeyen de tutarlı evrenler kurulabilir.

Bu nokta felsefi bir ürperti yaratır ama matematiksel olarak çok nettir: Sonsuzluk, tek bir uçurum değil, katmanlı bir yapıdadır. Sayılabilir sonsuzluk vardır, sayılamaz sonsuzluk vardır, onların da ötesinde daha büyük sonsuzluklar vardır. Bir kümenin tüm alt kümelerinden oluşan kuvvet kümesi, her zaman başlangıç kümesinden daha büyüktür. Bu da sonsuzlukları sonsuza dek büyüten bir makine gibidir.

Sonuçta Cantor’un keşfi bize şunu öğretir: Matematik sadece hesap yapma sanatı değildir; düşüncenin sınırlarını test eden bir disiplindir. Sonsuzluk, gözümüzün uzaklara bakarken uydurduğu sisli bir kelime olmaktan çıkar; ölçülebilen, karşılaştırılabilen, sınıflandırılabilen bir gerçekliğe dönüşür. Ve belki de en güzel tarafı şudur: Sonsuzluk bile tek başına sonsuz değildir; onun da çeşitleri, katmanları ve beklenmedik hiyerarşileri vardır.