Etiket: cebir

Bir cetvel, bir pergel ve görünürde masum üç soru: Verilen bir açıyı üç eş parçaya bölmek mümkün mü? Herhangi bir küpün hacmini iki katına çıkaracak yeni bir küp çizilebilir mi? Bir daireyle aynı alanı taşıyan kare kurulabilir mi? Antik Yunan geometrisinin bu üç yıldız problemi, yüzyıllar boyunca matematikçileri peşinden sürükledi. Sorular o kadar yalındı ki, çözümün mutlaka çok zekice bir çizimde saklandığı düşünüldü. Fakat asıl sürpriz şuydu: Bazı problemler henüz çözülmemiş değildi; verilen kurallar altında gerçekten çözülemezdi.

İmkânsızlık, başarısızlık değildir

Klasik inşalarda yalnızca işaretsiz bir cetvel ve pergel kullanılabilir. Cetvel iki noktadan doğru geçirir, pergel bir merkezden belirli yarıçapta çember çizer. Bu araçlar basit görünür; ama güçleri son derece kesindir. Onlarla yapılabilen her yeni uzunluk, başlangıçtaki uzunluklardan belirli cebirsel işlemlerle, özellikle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma yoluyla türetilir. Başka bir deyişle çizim masasında görünen şey, arka planda sayıların katı bir hiyerarşisidir.

Örneğin küpü iki katına çıkarma problemi, kenar uzunluğu 1 olan bir küp için kenarı küpkök 2 olan bir küp inşa etmeyi gerektirir. Oysa cetvel-pergel dünyası kareköklerle ilerler; küpkök 2 ise gerekli türden bir sayı değildir. Açıyı üçe bölme de genel durumda benzer bir engele takılır. Bazı özel açılar, örneğin 90 derece, üçe bölünebilir; ama her açı için çalışan evrensel bir yöntem yoktur. Buradaki incelik önemlidir: Matematik, tek tek başarılı örneklerle değil, tüm örnekleri kapsayan kanıtlarla konuşur.

Dairenin karesini alma ise daha dramatik bir son taşır. Böyle bir inşa, π sayısının kareköküyle bağlantılı bir uzunluğu üretmeyi gerektirirdi. Ferdinand von Lindemann, 1882’de π’nin aşkın olduğunu, yani hiçbir tam katsayılı polinom denkleminin kökü olamayacağını gösterdi. Böylece sorun, çizim becerisinden sayı kuramına sıçradı ve kesin olarak kapandı. Binlerce yıl süren arayışın sonucu bir şekil değil, bir sınır bilgisi oldu.

Düşünce tarihindeki kırılma

Bu sonuçlar, matematiğin sadece cevap üretme sanatı olmadığını gösterdi. Matematik aynı zamanda hangi soruların hangi araçlarla cevaplanamayacağını araştırır. Pierre Wantzel’in 1837’de küpü iki katına çıkarma ve genel açı üçleme üzerine geliştirdiği kanıtlar, geometrik sezginin cebirsel yapıyla denetlenebileceğini ortaya koydu. Ardından Galois kuramı, denklemlerin çözülebilirliğini bir formül bulma meselesi olmaktan çıkarıp simetri meselesine dönüştürdü. Bir problemin görünüşü geometrik olabilir; kaderini ise görünmeyen cebirsel ilişkiler belirleyebilir.

Bu dönüşüm felsefi açıdan da güçlüdür. İnsan zihni çoğu zaman “Yeterince uğraşırsam yaparım” varsayımıyla hareket eder. İmkânsızlık kanıtları buna daha olgun bir karşılık verir: Çaba değerlidir, fakat önce oyunun kurallarını anlamak gerekir. Bir kapının kapalı olması, anahtarın henüz bulunamadığı anlamına gelmez; bazen o duvarda kapı yoktur. Bu ayrım, bilimsel düşüncenin verimliliğini artırır. Enerjiyi çözümsüz bir yöntemde tüketmek yerine, araçları değiştirmek gerekir.

Nitekim işaretsiz cetvele iki işaret eklemek, origami kullanmak ya da mekanik eğrilerden yararlanmak bazı yasaklı inşaları mümkün kılar. Demek ki imkânsızlık mutlak değil, koşulludur. Bu ders günümüz teknolojisine kadar uzanır: Bir algoritmanın belirli sınırlar altında çözemediği bir görev, başka bir hesaplama modeliyle ele alınabilir. Klasik inşalar böylece bize zarif bir düşünme disiplini bırakır: Önce hedefi tanımla, sonra araçların gücünü ölç, en sonunda da sınırın ardında yeni bir dünya olup olmadığını sor. Bazen en yaratıcı çözüm, çizilemeyen şeklin neden çizilemediğini kanıtlamaktır.