Bir Sayının Gölgesi: Kareler ve Kareköklerin Şaşırtıcı Dünyası

Bir sayıyı kendisiyle çarpmak ilk bakışta sıradan bir işlem gibi görünür. Oysa kare alma, sayıların davranışını kökten değiştirir: Negatifleri pozitife dönüştürür, büyük sayıları hızla büyütür, kesirleri ise küçültebilir. Karekök alma da bu dönüşümün izini geriye doğru sürer. Biri matematiksel bir hızlandırıcı, diğeri dikkatli çalışan bir dedektif gibidir.

Kare nedir?

Bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpılmasıdır. Örneğin 52 = 5 × 5 = 25 ve (-5)2 = (-5) × (-5) = 25 olur. Üstteki küçük 2, işlemin kısa gösterimidir. Buradaki önemli ayrıntı şudur: Pozitif ve negatif iki farklı sayı aynı kareye sahip olabilir. Kare alma işlemi işareti adeta siler.

Bu işlemin adı geometriden gelir. Bir kenarı 5 birim olan karenin alanı 5 × 5, yani 25 birimkaredir. Dolayısıyla bir sayının karesini düşünürken yalnızca sembollere değil, büyüyen bir yüzeye de bakabiliriz. Kenar iki katına çıktığında alan iki değil, dört katına çıkar. Bu fikir mimariden bilgisayar grafiklerine kadar pek çok alanda karşımıza çıkar.

Karekök hangi soruyu sorar?

Karekök, bize sonucu değil kaynağı aratır: Hangi pozitif sayı kendisiyle çarpıldığında verilen sayıyı oluşturur? √49 = 7 ifadesi, 7 × 7 = 49 olduğu için doğrudur. Fakat burada sık rastlanan bir tuzak vardır. 49’un karekökü denildiğinde kullanılan √49 sembolü, esas yani negatif olmayan karekökü belirtir ve sonuç 7’dir. Buna karşılık x2 = 49 denkleminin iki çözümü vardır: x = 7 ve x = -7.

Bu ayrım küçük görünür ama matematiksel düşünmenin özünü taşır. Bir işlem ile bir denklemi çözmek aynı şey değildir. Benzer nedenle √(a2) her zaman a değildir; doğru sonuç |a|, yani a’nın mutlak değeridir. Örneğin a = -4 ise √((-4)2) = √16 = 4 olur. Matematik, işaretleri unutmaz; yalnızca onları doğru yerde yeniden yorumlar.

Tam kareleri tanımak

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 sayıları tam karedir. Bu listeyi ezberlemek yararlıdır, fakat örüntüyü görmek daha değerlidir. Ardışık kareler arasındaki farklar tek sayılardır: 1’den 4’e geçerken 3, 4’ten 9’a geçerken 5, ardından 7 ve 9 eklenir. Genel olarak (n + 1)2 – n2 = 2n + 1 olur. Böylece karelerin rastgele sıralanmadığını, düzenli biçimde açıldığını görürüz.

Tam kare olmayan sayıların kökleri de tahmin edilebilir. Örneğin √20, √16 ile √25 arasında olduğundan 4 ile 5 arasındadır. 20, 16’ya daha yakın olduğu için sonuç yaklaşık 4,47’dir. Bu yaklaşım, hesap makinesi olmadan sayıların büyüklüğü hakkında akıllıca bir tahmin yapmayı sağlar. Matematikte kesin sonuca ulaşmadan önce doğru aralığı bulmak çoğu zaman çözümün yarısıdır.

Kökleri sadeleştirmek

Bir köklü ifadeyi sadeleştirirken sayının içindeki tam kare çarpan aranır. Örneğin √72 = √(36 × 2) = 6√2 olur. Çünkü 36’nın karekökü tam olarak 6’dır. Benzer biçimde √50 = √(25 × 2) = 5√2 şeklinde yazılır. Ancak toplama işleminde aynı yöntemi gelişigüzel kullanamayız: √(9 + 16), √9 + √16 değildir. Sol taraf 5, sağ taraf 7 eder.

Kareler ve karekökler yalnızca sınav sorularının konusu değildir. Uzaklık hesaplarında, Pisagor teoreminde, standart sapmada, fizik formüllerinde, oyun motorlarında ve veri analizinde sürekli çalışırlar. Kare alma farkları büyütür; karekök ise sonucu yeniden anlaşılır ölçeğe taşır. Kısacası kareler sayıların gücünü, karekökler ise bu gücün nereden geldiğini gösterir. Bir sonraki kez √ işaretini gördüğünüzde onu yalnızca bir sembol değil, geriye doğru açılan matematiksel bir kapı olarak düşünün.

Saçmalık ve parçacık/Dalga konumu

Saçmalık ve parçacık/Dalga konumu

Zaman zaman söyleyip yapmakta olduğumuz şeylerin saçmalamaktan ibaret olduğunu söyleriz. Şimdi neden saçmalamak zorunda olduğumuzu kanıtlamak için biraz daha saçmalayacağım.

Boş boş (düşünmeden) bir şeyler yaptığımız, örneğin müzik dinlerken, temizlik yaparken, yemek yaparken ya da öyle amaçsızca yürürken birden aklımıza bir fikir (A fikri olsun)gelir, onu kafamızda evirip çevirmeye başlarız. Bazen de hemen söyleriz veya yazarız. Bunların çoğu boş bulundum yaptım diyebileceğimiz tepkisel anlık şeylerdir. İşte o fikrin geldiği an, kuantum açısından dalganın çöktüğü ve parçacık konumuna geçtiğimiz andır.

Parçacık konumundayken, 360 derecelik TAMlığın bir noktasındayızdır. Bir başka deyişle dışımızda tam sayı cinsinden 359 nokta daha vardır (eğer bir sınır koymayacaksak halen sonsuz alternatifle çevriliyiz demektir). Şu an kendimi ifade edebilmeyi başarma arzusuyla dolu olduğum için, izin verin sınırın içinde kalıp 359 benden farklı konumun olduğunu varsayayım.

Takdir edersiniz ki benden farklı noktalara çökmüş olan 359 parçacığın her biriyle eşit uzaklıkta değiliz. Örneğin her iki yönden otuzar derece uzağımda olanlarla oldukça yakın bir şey söylemekteyiz. Öte yandan doksan dereceyi geçen konumlarda giderek uzaklaşıyoruz ve 180 dereceye vardığında artık tamamen zıt şeyleri söyleyen iki noktayız. Tamamen zıddı söylemek sizlerin de kolayca görebildiğiniz gibi, aynı “gerçekliği” var etmek anlamına geliyor. Çünkü dualitik bir gerçeklikte her tanım zıddı ile var olabiliyor.

Üstelik dalga fonksiyonumun çöktüğü o an, yalnızca bağımsız bir dairenin bir noktasında da değilim, sonsuz bir spiralin Allah bilir hangi dairesinin bir noktasındayım?

Söz konusu A fikri, eğer onu hafızaya şiddetle kaydedip, üzerinden belli aralıklarla birkaç kez geçmezsem unutulup gidecektir. Çünkü gün içinde birçok dalmalar ve böylece birçok çökmeler yaşamaktayım.

Hal böyleyken, uçsuz bucaksız bir spiralin bilmem kaçıncı (tamamen önemsiz) dairesinde herhangi bir noktada çökmüş olan parçacık yönümü, tüm anlarımı işgal edecek şekilde ciddiye almam mümkün olabilir mi?

Ciddiye alsam tam bir saçmalık olur. Fakat bu, A fikrinin gerçekliğini asla sarsmaz. Dalga hali o noktada çöken herkes A fikrini doğrulayacaktır. Gerçekten de komik.

Parçacık konumunda çok iddialı olmamız da doğal, çünkü söylediğim şekilde gelen o A fikri, içinde şüphe barındırmayan tam bir Allah kelamıdır. Oyun kuramında aslında oyunların herhangi bir yerinden dışarı çıkmanın mümkün olduğunu söylemiştim. İşte bu o noktadır. Ve fakat o noktada fazla kalamayız. Psikologlar bu noktayı ancak oniki saniye sürdürebileceğimizi söylemişler.

Bu durum bizi dalga konumlarına daha fazla dikkat göstermeyi ve entegral ya da holistik yaşam modellerini benimsemeyi adeta zorunlu kılıyor.

Yukarıda yaptığım bu hızlı düşünce akışının süresi uzadıkça başka konumlara geçeceğim besbelli. Bu sebeple hemen şunu da ilave edeyim. İnsanların dalga yönlerini –farkında olsunlar olmasınlar- kullandıklarını biliyoruz ve tabi mecburen çöküşler de yaşayıp şu Allah kelamlarından aldıklarını da biliyoruz. Ve fakat maalesef dünyadaki insanların ezici bir çoğunluğu buna kıymet vermiyor ve ezber yaşayıp nakletmeye devam ediyorlar.

Sibel Atasoy

24.10.10 – beylerbeyi

Ek:     Bu anlık akış-yazısından acaip bi şey öğrendim bugün. Daha önce hiç aklıma gelmeyen bi şey! Bu harika, insan böylesi hiç aklına gelmeyen şeyleri bulunca buldumcuk oluyor. Öğrendiğim şey ise şu: İnsanın anlık çöküş ve parçacık konumunun en uzağındaki noktanın 180 derece ve onun yakınları değil, sağdan ve soldan doksan dereceleri olduğuna aydım! Çünkü 90 dereceden sonraki her derece adım adım her noktada senin parçaçık konumunun varedicileri oluyor. Yani tanrıların oluyorlar bir anlamda, ta ki 180 dereceye kadar. İşte orada tam olarak senin mevcut konumunun var edicisi oluyor.
Bu aymanın verdiği şevkle her iki yönden 90 derecelerimin bana en uzak nokta olduğunu anlıyorum. Dik açının önemi burada belirginleşiyor.:)

Her iki yönden dik açı ise bizi kareye ulaştırıyor. Kare simgesi genişlemenin ilk adımı gibi sanki. Bir doğru parçasından ikişer yana genişleyerek daireleşiyorsun.