Sonsuz Us

Kısır bir döngü başlıklı yazımı şu cümle ile bitirmiştim: “Var olmak için insan düşünmek zorundadır ama düşünce yoluyla da varlığını anlaması mümkün değildir”. Ne kadar ilginçtir ki insan varlığını anlayamadığı halde kendine bir benlik üretmektedir. “Benlik” kendi varlığına anlam kazandıran bir kavramdır. Eğer “benlik” (ego) kavramı olmasa var olması da tehlikeye düşebilir. Diğer canlıların böyle bir yapay kavrama gereksinimleri yoktur. Çünkü onlar varlıklarını bedenleri sayesinde sürdürebilirler. Oysa ki insanın bedeni oldukça güçsüz olduğundan düşünce yoluyla kendine bir “varlık nedeni” yaratmalıdır. Bu durumda “benlik” özne değil, nesneye dönüşmektedir.

Özne insanın doğal var olan yapısı, benlik ise kendi ürettiği yapay bir kavramdır. İnsan kendini güvende hissetmesi için erken yaşta “benlik” kavramını üretir. Çocukta benlik bilinci 2-3 yaşında iyice belirgin olmaya başlar. Zaman geçtikçe bu benliği güçlendirip süsleyerek, gerçek özünden gittikçe uzaklaşır. Benlik bir nesneye dönüştüğünde tanımlanabilen, şekli ve özellikleri bilinen, sonlu bir yapı olur. Özne ise gittikçe derinlere itilen, tanımsız ve belirsiz bir varlığa dönüşür. Batı psikologları özneye “id” adını vermişler, onu içgüdülerin ve hayvansal yaşam dürtülerinin toplamına indirgemişlerdir. Oysa ki özne, evrenin holografik bir özeti olarak evrenle aynı özellikleri içeren canlı varlığın özüdür.

İşte yukarda belirttiğim gibi, insan özünden uzaklaştığı için kendi varlığını anlamakta aciz kalıyor. Özünü sorgulayan insan kendi holografik yapısının farkına vardığı anda, evrenle ilgili sorular sormakta ve yanıtlar ararken sonsuzluk kavramıyla yüzleşmektedir.

Evren sonlu mudur? Sonsuz mu? Sorusu hepimizin merak ettiği bir sorudur. Evren sonlu fakat hudutsuzdur. Hudutsuzluğu tanımlamak için basit bir örnekten başlayayım. Tek boyutlu hudutsuzluğa örnek iki ucu birleşmiş olan kapalı bir eğri çizgidir. Bu eğri çizgi herhangi bir yüzey içinde var olabilir. Kapalı olduğu için sonlu fakat aynı zamanda tek boyut içinde ne başı ne de sonu tanımlanamadığından hudutsuzdur. Şu halde tek boyutlu hudutsuz nesne iki boyut içinde tanımlıdır.

İki boyutlu hudutsuz nesneye örnek ise bir kapalı yüzeydir. Böyle bir yüzeyin ne başlangıcı vardır ne de sonu. Kapalı olmasından dolayı sonlu fakat hudutsuzdur. Bu nesne de ancak 3-boyutlu uzam içinde tanımlıdır.

Üç boyutlu hudutsuz nesne ise dört boyutlu uzay-zaman içinde tanımlanmalıdır. Bu da bizim “evren” dediğimiz içinde bulunduğumuz yapıdır. Fakat nitelik olarak evren 3-boyutlu uzamdan farklıdır. Uzam-zaman deyince uzam + zaman anlaşılmamalıdır. Nasıl ki bir kapalı yüzey nitelik olarak bir eğri çizgiden farklı ise uzam-zaman da nitelik olarak 3-boyutlu uzamdan farklıdır.

Evrenin hudutsuzluğu onun niteliği, yani kendine has özelliğidir. Öznenin de bu tür farklı bir niteliği vardır. Bu bakımdan ne evren ne de özne tam olarak anlaşılamaz. Onları söze ve sayıya döküp bir model geliştirebiliriz. Fakat bu durumda onların niteliksel hudutsuzluğu niceliksel sonsuzluğa dönüşmüş olur. Bilim adamları evrenin matematik modelini yapmakla bir yandan niteliksel (geometrik) hudutsuzluğunu kabul etmekte diğer yandan niceliksel (aritmetik) sonsuzluğun içine düşmektedirler.

Üç tür aritmetik sonsuzluk vardır.

Sayılabilir sonsuzluk. Buna örnek tam sayılar kümesidir. Tam sayıların sonu yoktur. Herhangi bir tam sayıya 1 ekleyin yeni ve daha büyük bir tam sayı elde edersiniz.

Sayılamaz sonsuzluk. Sayılamaz sonsuz sayılara “irrasyonel” sayılar denir, zira herhangi iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemezler. Bu tür sonsuzluğa örnek sıfır ile bir arasına düşen gerçel (reel) sayılardır. Bu tür sayıların kesirleri uzayıp gider. Doğadaki sabitler bu tür sayılamaz sonsuzluğa sahip sayılardır. Örneğin, p sayısı 3.141592654…. şeklinde uzar gider. Bugün bile, en güçlü bilgisayarlar kullanıldığı halde, pi sayısının sonu bulunmamıştır. Üstelik pi sayısında herhangi bir düzen, kendini tekrarlayan bir sayı dizisi, de yoktur. Bir diğer örnek e sayısıdır. Bu sayı da 2.718281828… şeklinde uzar gider. Doğa ve evren ile ilgili matematik modellerde sabit olan sayılar e ve pi sayılarını içerdiklerinden, evrende ve öznede sayılamaz bir sonsuzluk bulunduğunu kabullenmek zorundayız.
Üçüncü tür sonsuzluktan bir sonraki yazımda söz edeceğim.

18 ve 19. yüzyıllarda gelişmiş olan klasik bilimin etkisi altında genel bir kanı olarak Yerellik ve İndirgeyicilik yaklaşımları yerleşmiştir. Bu yaklaşımlar birer ilke olmayıp sadece birer varsayımdırlar.

Yerellik: Etkileşimlerin sadece yerel nedenlere dayalı olduklarını varsayar. Böylece uzaktan ve anında etkilerin bulunamayacağını iddia eder. Isaac Newton (1643-1727) klasik mekanik kuramında yerellik varsayımını hem onaylamış hem de dışlamıştır. Kendi yasası olan “Her etkiye yerel olarak ters yönde eşit bir tepki oluşur” görüşü ile yerelliği onaylarken, maddelerin birbirlerini anında çektikleri görüşünü savunduğu çekim yasasında yerelliği dışlamıştır.

Bu çelişik durum Einstein tarafından giderilerek her etkinin en çok ışık hızı ile yayılacağını savunmuş ve anında, uzaktan etkileri yok saymıştır. Oysa ki Takiyon Evren modelinde ışıktan hızlı hareket eden Takiyonların en alt hızı ışık hızı olup hızlarının üst sınırı yoktur. Yani sonsuza yakın hızlarla anında etkide bulunabilirler. TE modelinde yerellik varsayımı geçerli değildir.

Sürekli zaman kavramı, hatta sürekli uzam kavramı da yerellik varsayımından türerler. Çünkü “süreklilik” ile “yerellik” el-ele giden kavramlardır. Bir etkinin yerel olması için “yer” adını verdiğimiz uzam-zaman yapısının sürekli olması şarttır. Eğer süreklilik yoksa bir noktada oluşan etkiler süreksiz bir sıçrayışla farklı bir noktada tepkiye neden olabilirler. Böyle bir durum ise klasik bilim görüşü tarafından ret edilir.

Oysa ki Kuantum kuramı ani sıçrayışları kabul eder ve sürekliliği ret eder. Örneğin, atom çekirdeği etrafında dönen bir elektron parçacık olmayıp bir dalga gibi hareket ettiğinden yeri belirsizdir. Bir yörüngeden diğerine ani bir sıçrama yapar ve tekrar kendi eski yörüngesine anında geri sıçrar. İki yörünge arasındaki enerji farkına eşit bir enerjiye sahip olan bir foton da bu arada elektron tarafından salınır.

Bu olayı ne yerellikle ne de indirgeyicilikle bağdaştıramayız. Çünkü indirgeyicilik varsayımına göre bir bütünü parçalarına ayırarak anlamak mümkündür. Oysa ki elektrondan fırlayan foton elektronun yapısına sahip değildir. Elektron maddesel bir parçacık iken foton maddesel bir parçacık değildir. Kuvvet ileten bir parçacıktır. Aslında ikisi de parçacık değillerdir. Her ikisi de uzayda yerel olarak tanımlanamayan yaygın dalgalardır.

Elektron-foton ikiliği indirgenemez. Çünkü ikisinin toplamı olan yapı hem biridir hem de diğeri. Kuantum kuramı parçacıkları sınıflayarak bir indirgeme yapsa da bu indirgeme nereye kadar sürecektir? Nötron ve protonların Kuark adı verilen parçacıklardan oluştukları varsayılıyor. Kuarklar ise bağımsız olarak gözlenmedikleri için onları birbirlerine bağlayan Glüon adlı parçacıklar varsayılıyor. Fakat değişik doğa kuvvetlerini bir bütün olarak açıklamak isteyen fizikçiler Sicim adını verdikleri birtakım çok küçük (Planck uzunluğunda) yapılar ileri sürüyorlar. Bu sicimler de yeteri kadar istenilen görevi yapmadıkları ortaya çıkınca Membrane adını verdikleri esnek yüzeyleri varsayıyorlar.

Tüm bu yaklaşımlar ve varsayımlar yerellik ve indirgeyicilik varsayımlarında ısrar etmekten ortaya çıkıyor. Eğer bu iki varsayım gevşetilse ve ışıktan hızlı etkileşimlerin olabileceği kabul edilse, pek çok sorun çözülür kanısındayım. Eğer süreklilik genel olarak yoksa, o zaman sürekli bir uazy-zaman kavramına ve dolayısıyla ne “yer” ne de “eter” kavramına gerek vardır.

TE modelinde yerellik olmadığı gibi indirgeyicilik de yoktur. Çünkü gerek Karmaşa kuramı gerekse Holografik yaklaşım bütünsel olarak davranan bir evrene işaret ediyor. TE modeli de hem Karmaşa kuramını hem de Holografik evren modelini içeren, onları dışlamayan, üstelik Kuantum sıçramalarını da bulunduran bir modeldir. Üstelik TE modelinde süreklilik de yoktur. Evrenin açılıp kapanması sürekli bir olay olarak tanımlanmıyor. Ani ve kuantum zamanı kadar kısa bir sürede evren bir durumdan diğer duruma geçmekte, bu geçiş de ani bir sıçrama şeklinde olmaktadır.

Son iki yazımda Karmaşa kuramının en temel denklemlerinden hareketle Fraktal ile Acayip Çekici kavramlarını açıklamaya çalıştım. Fakat acayip çekici denen merkezi nokta tek bir nokta olmayabilir. Eğer iki tane acayip çekici varsa sistem ikisi arasında salınım hareketleri yapar. Yukarda görülen resim Lorenz Fraktalı olarak bilinir. İki merkez etrafında sistem sürekli gidip gelir ama her yörünge bir öncekinin aynı değil sadece benzeridir.

Bu yapıyı anlamak için basit bir denklemden hareket edelim. Altın Oran başlıklı yazımda verdiğim x^2 = x + 1 denklemini biraz farklı yazıp bir de sabit parametre ekleyelim.

Pn+1(x) = k.Pn(x) – k.Pn(x)^2 denkleminde n+1 inci terim n’inci terim ile sabit bir k parametresinden elde edilir. Hem başlangıç değeri olan P(x) sayısına hem de k’nın değerine göre farklı sonuçlar ortaya çıkmaktadır. Örneğin, k = 3.1 ve P1(x) = 0.5 seçilirse iki adet “tuhaf çekici” belirir. Bunlardan biri 0.558 ve diğeri 0.765 değerleridir. Sistemin denklemi sürekli bu iki sayı arasında gidip gelir.

Fakat aynı denklemde k =4 ve P1(x) = 0.4 seçersek hiçbir çekici nokta belirmez ve değerler sürekli belirsiz bir şekilde sıçrar durur. Sistem karmaşık hale gelmiş olur ve düzen oluşmaz. Türbülans denen olayın nedeni budur.

Farklı k değerleri çok farklı sonuçlara yol açmaktadır. Fakat, dikkat edersek, hem k değerinde hem de başlangıç şartında çok küçük bir değişim yapmak sonuca çok büyük etkileri olabiliyor. Fraktal yapıda kendine benzeme özelliği bazı değerler için kaybolmazken diğer bazı yakın değerler için düzenden tümüyle düzensizliğe ulaşıyoruz. Fakat parametrelerin biraz değişmesi yeniden düzenin geri gelmesini sağlıyorlar.

Kayalardan akan suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi, fırtınalı rüzgarlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların yuvarlanışı, kalbin fibrilasyona girmesi gibi çok farklı olaylar karmaşa kuramı ile açıklanıyor. Bir ağacın yeni bir budak vererek dal oluşturması, hatta kan damarlarının oluşumu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli birtakım değerler arasında kaldığı durumlarda gerçekleşebiliyor. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgarları gibi) belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayın farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını şimdi daha iyi anlıyoruz.

Eğer yukarıdaki denklemde Pn(x) = t1 anı olarak düşünülürse, bir an sonrası olan t2 anı sadece k parametresine bağlı olduğu görülüyor. t1 anındaki evrenin durumu ile sabit k parametresi bilindiğinde t2 anındaki durum bilinebilir. Eğer evren Holografik olarak iki merkez arasında salınıyorsa bir “an” bildiğimiz genişlemiş evren, hemen sonraki “an” daralmış ve küçülmüş evren olabilir. Bu hareketi de sadece kendine benzeyerek kendi üzerine dönüşümlü bir yapı ile sağlayabilir. Altın Oran başlıklı yazımda görülen resim çok büyük bir sistemin spiral hareketle nasıl da sıfıra doğru küçüldüğünü göstermektedir.

Elbette ki burada belirttiğim basit denklemler bizim evrenimizi açıklamaya yetmezler. Ancak bu basit örnekler sayesinde, Takiyon Evren modelinde sözünü ettiğim açılıp-kapanma olayının pekala mümkün olabileceğini ve bunun için sadece “an”daki bilginin yeterli olacağını anlamış bulunuyoruz.

Ayrıca, Acayip Çekici veya çekicilerin Fraktal olmalarından dolayı sistemde sürekli kendine benzeyen (fakat kopyası olmayan) yapılar ortaya çıkmaktadır. Bu benzerlik her boyutta görülmektedir. Ancak, Fraktaller kesirli boyutta olduklarından tam sayıdan oluşan “Klasik Boyut” kavramı da terk edilmelidir.

Karmaşa Kuramı ile birçok sistem açıklanabiliyor. Meteroloji, Biyoloji, Ekonomi, Tıp, Astronomi, Kozmoloji hatta Sosyoloji ve Psikoloji dahi bu kuramdan yararlanıyor.

Yeryüzünde görülen çeşitli bitki ve hayvan türlerinin oluşumu hakkında bir kuram geliştiren Charles Darwin (1809-1882) doğal seçilim yoluyla evrimin gerçekleştiğini ileri sürmüştür. Bu görüşe göre doğaya ve çevre şartlarına uyum sağlayan türler doğal bir seçilim ile varlıklarını sürdürmekte ve evrimleşerek değişmektedirler.

Bu görüş genel bir çizgi içinde doğru olmakla birlikte ayrıntılarda birtakım zorluklarla karşılaşıyor. Örneğin, basit organizmalardan karmaşık yapılara geçiş yavaş ve sürekli olmamış yeni türler aniden, süreksiz bir sıçrama şeklinde belirmiştir. Yani, sürekli küçük değişimler doğada görülmüyor. Genlerin (mikro) değişimini bedensel (makro) değişimlerin izleyeceği görüşü de sorgulanabilir. Çünkü genlerde kendilerini tamir eden bir mekanizma var. Çevreye uyum sağlamak fikri bir totolojidir. Çünkü bizim çevremizde var olan türler otomatik olarak “uyum sağlamış” kabul edilip diğer (kaybolmuş) türler “uyum sağlayamamış” olarak tanımlanmaktadır. Günümüzde çevresi ile çok iyi bir uyum içinde olan türler yok oluyorlar. Fosil buluntular yeni türlerin çok kısa bir sürede ortaya çıktıklarını gösteriyor. Türler gelişmiyor, aniden oluşuyor.

Türlerin oluşumuna en temel açıklama getiren iki kuram vardır. Bunlar Karmaşa kuramı ve Kuantum kuramıdır. Karmaşa kuramında başlangıç şartlarının önemli olmadığını gördük. Herhangi bir t1 anında P1 fonksiyonu bilinirse t2 anında k parametresine bağlı olarak P2 fonksiyonu bilinebilir. Karmaşa kuramında k parametresi önemli rol oynar. Bu parametredeki ufak bir farklılaşma büyük değişikliklere yol açabilir.

Kuantum kuramı ise bir durumdan diğerine ani bir sıçrama ile geçileceğini söyler. Kuantum kuramında zaman sürekli olmadığından bir anda yeni bir durum ortaya çıkabilir. İşte Karmaşa kuramındaki k parametresi kuantik bir sıçrama ile aniden Dk kadar değişikliğe uğrarsa bir çatallaşma (bifurcation) olur ve yeni bir tür belirir.

Bu durumu en açık olarak virüslerde görmekteyiz. Örneğin, grip virüsü sürekli olarak ani sıçramalarla yeni türler oluşturuyor. Bu duruma “virüs uyum sağlıyor” şeklinde bir açıklama getirsek dahi “uyum” sözü yavaş bir değişime işaret ettiği için pek uygun bir kavram değildir. Benim tercih ettiğim ifade “virüs aniden farklılaşıyor ve yeni türler oluşuyor” şeklindedir.

Türlerin oluşumunda Kuantum kuramının etkisi sadece genetik değişimlerle açıklanamaz. Bu etki tüm evrenin küçük bir hacim içine sıkışması ve Takiyonlardan gelen düzen ile ilgilidir (Bakınız: Sorular yanıtlanıyor başlıklı yazım). Evren her küçüldüğünde Takiyonlar yeni türlerin oluşumuna etki etmekte ve bu oluşum bir kuantik sıçrama şeklinde aniden olmaktadır. Evren büyüdüğünde ise holografik olarak (temel yapı aynı kalsa da) birbirine benzeyen fakat yine de farklı olan türler oluşuyor.

Sadece yeni türlerin oluşumu değil, aynı tür içindeki farklılaşma da bu kuantik sıçrama şeklindedir. Örneğin binlerce karınca gurubu vardır. Hepsi de aynı karınca türüne ait olsalar da aralarında birçok özellikleri bakımından ayrılmaktadırlar.

Bir diğer örnek, kök bir ana dilden türeyen lehçeler ve ağızlar, ana dilin yan kollara ayrılışı, çok kısa bir zaman aralığı içinde, adeta ani bir oluşumdur. Bu olayda da Acayip Çekici etkisini ve çatallaşmayı görmekteyiz. Acayip çekici tek ise sistem o noktaya doğru yaklaşıp sabit ve dengeli olmaktadır. Bu durum hem yeni türlerin hem de yeni dillerin kalıcı olmalarını açıklar. Fakat acayip çekici birden fazla ise sistem kararsız denge durumunda olur ve çok küçük bir dış etki bile onun tümüyle karmaşaya sürükleyebilir.

Karmaşa içine giren sistemin davranışı ise belirsiz olur. Aniden dağılabileceği gibi iki çekici merkez arasında gidip gelerek, salınım hareketi içinde, varlığını sürdürebilir. Birçok toplumun tarih sahnesinden silinmiş olması ve birçok türün doğada yok olması bu etki ile açıklanabilir. Öte yandan iki çekici merkeze rağmen varlığını sürdüren toplumlar da vardır. Örneğin, Belcika, Kanada ve İsviçre birden fazla dilin konuşulduğu ve dış çekici güçlerin etkin olduğu ülkeler olmalarına rağmen denge içinde varlıklarını sürdürüyorlar.

Yukarıda sözünü ettiğim “kendi üzerine dönüşümlü” sistemler ile Altın Oran arasında yakın bir ilişki vardır. Bu oran sadece matematik bir ilgi odağı olmayıp fizik ve dolayısıyla doğa ile de yakından ilgilidir. Altın oran çok eski dönemlerden beri bilinmektedir. Kadim Mısır kültürü ehramların yapısında bu oranı kullanmış, kadim Yunan filozof ve matematikle ilgilenen düşünürler de Altın Oranı onlardan öğrenmiştir.

Altın oran mantığı şudur. Bir doğru parçasını öyle bir noktasından bölün ki tüm uzunluğunun uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşit olsun.

Yani  l-----------------l-------------l şeklinde bir doğru parçasında   (A+B)/A = A/B
               A               B

Kolaylık olsun diye A = x ve B = 1 seçelim. Bu durumda x^2 = x + 1 olur.

Bu denklemi x^2 – x – 1 = 0 şeklinde yazıp köklerini bulursak x(1) = 1.6180339887…ve x(2) = – 0.6180339887…buluruz. Bu iki kökten pozitif olan x(1)’e büyük T adını verelim.

T irrasyonel bir sayıdır. Yani iki tam sayının oranı olarak gösterilemez. Fakat iki tam sayının oranı kendi üstüne dönüşümlü bir kural dahilinde T sayısına yaklaşır. Bu kuralı Fibonacci dizisinden çıkarırız. Asıl adı Leonardo Pissano olan Fibonacci (1170-1250) İtalyada doğmuş fakat Mısırda büyümüştür. Matematik meraki da o dönemde çok ileri düzeye ulaşmış İslam matematiğinden kaynaklanmıştır.

Fibonacci 1,1 çiftinden başlayarak son iki sayının toplamından yeni bir sayı üretmiş ve bu kendi üstüne dönüşümlü kuralı tekrarlayarak şu diziyi elde etmiştir:

1,1,2, 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,………….

Bu dizide ard arda olan iki sayıdan büyüğünü küçüğüne bölerseniz görürsünüz ki T sayısına doğru yakınsar. Örneğin, 233/144 = 1.618055 iken 6765/4181 = 1.618033 olup gittikçe T sayısına doğru yaklaştığımızı görürüz. Fibonacci sayılarına F(n) dersek herhangi peş-peşe bir çift için F(n)/F(n-1) => T sayısına doğru yakınsar fakat asla eşit olmaz.

Bu durumun birçok ilginç açılımı vardır:

1- Kendi üstüne dönüşümlü önermeler belirsizliklere ulaşırlar. İki Fibonacci sayısının peş-peşe oranı da kendi üstüne dönüşümlü bir kural içerir. Bu bakımdan T sayısı sonlu bir sayı olmayıp sonsuza kadar kesirleri sürer gider. Bu “irrasyonel” olma özelliği tüm doğa sabitlerinin ortak özelliğidir.

2- T sayısı “kuadratik” (kareli terim içeren) bir denklemin köküdür. Kareli terim ise kendi üstüne dönüşümlü olduğunda Kaos (karmaşa) yaratır. Bu durumu bir önceki Kelebek etkisi başlıklı yazımda açıkladım.

3- Fibonacci dizisi iki tane “1” sayısından başlayarak ard-arda iki terimin toplamından oluşuyor. T sayısı ise ard-arda iki terimin bölümünden oluşuyor. Yani, hem diziyi oluşturmak için hem de T sayısına yaklaşmak için son iki sayıyı bilmek yetiyor. Dolayısıyla teklikten ikiliğe geçilirken yeniden tekliğe yaklaşılıyor.

Bu son noktanın önemli fiziksel ve felsefi sonuçları vardır. Bu noktayı daha iyi anlayabilmek için Altın Oranı iki boyutlu bir dikdörtgene uygulayalım. Öyle bir dikdörtgen bulalım ki uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının uzun kenara oranı, uzun kenarın kısa kenara oranına eşit olsun. Gene oranın 1.6180339887… olduğunu görürüz. Eğer bu oranı tekrarlarsak şekildeki gibi bir noktaya doğru yakınsadığını görürüz. ABEF noktalarından geçen kare CFGK noktalarından geçen kareye göre kenarı T kadar daha büyüktür. Aynı oranı defalarca küçülterek tekrarlarsak şekil çok küçük bir kareye doğru yakınsar. BD ve CE köşegenlerinin kesim noktası şeklin odak noktasıdır. İki köşegenin oranı ise gene T sayısıdır.

Bu şekilde bir kareden başlayarak kendine benzeyen ve kendi üzerine dönüşümlü karelerin bir odak noktasına doğru yakınsadıklarını görüyoruz. Bu noktaya “Acayip Çekici” nokta adı verilmiştir. Çünkü bu nokta sistemin denge noktası olup tüm kuvvetlerin bu noktadan kaynaklandığını düşünebiliriz. Ayrıca köşelerden geçen kırmızı çizgi bir spiral çizmekte sonsuzluğa yaklaşan girdap görünümü vermektedir.

Doğada da bu tür girdaplara oldukça sık rastlamaktayız.