Euler Özdeşliği: Evrenin Şifresi Beş Sembolde Saklı Olabilir mi?

Bazı denklemler hesap yapmak için vardır; bazıları ise insanın zihninde küçük bir patlama yaratmak için. Euler Özdeşliği ikinci türdendir: eiπ + 1 = 0. İlk bakışta masum, hatta biraz gösterişsiz görünür. Fakat bu kısacık satırda matematiğin en tuhaf, en güçlü ve en beklenmedik sabitleri aynı masaya oturur: 0, 1, π, e ve i. Sanki sayıların gizli konseyi toplanmış, bize evrenin dilinin aslında ne kadar ekonomik olabileceğini fısıldamıştır.

Bu özdeşliğin büyüsü, yalnızca güzel görünmesinde değil, birbirinden çok farklı matematiksel dünyaları tek bir nefeste birleştirmesindedir. 0 yokluğu, 1 birliği temsil eder. π çemberlerin, dönüşlerin ve geometrinin kadim imzasıdır. e büyümenin, değişimin ve doğal süreçlerin sayısıdır. i ise karesi -1 olan hayali birimdir; gerçek sayı doğrusu yetmediğinde zihnin açtığı yeni bir boyuttur. Euler’in formülü, bu karakterleri tek bir sahnede buluşturur ve beklenmedik bir finalle hepsini sıfıra bağlar.

En güzel formül

Euler Formülü
Bu özdeşlik bazı serilerin kaçınılmaz sonucudur.
Taylor açılımlarından elimizde şu seriler vardır.

ex=1+x/1!+(x2)/2!+(x3)/3!+(x4)/4!+…
sin(x)=x-(x3)/3!+(x5)/5!-(x7)/7!+…
cos(x)=1-(x2)/2!-(x4)/4!-(x6)/6!+…

i, nin kuvvetleri periyodik olarak 1, i, -1, -i değerlerini aldığından eix fonksiyonunun açılımı, terimleri düzenlendikten sonra, cos(x)+isin(x) olur.

eix = cos(x)+isin(x)

eşitliği sağlanıyorsa, x yerine π yazabiliriz.

Bu durumda,
cos π = -1
sin π = 0
olur, ve bağıntı eiπ = -1 haline dönüşür. Elbette bu şekilde bırakabiliriz, ama -1 i eşitliğin diğer tarafına alarak matematikte ki 5 önemli sabitin aynı denklemde bulundukları halini elde ederiz. Üstelik başka hiç bir katsayı olmadan en saf hallerini.