Bir sayının karesi nasıl negatif olabilir? İlk bakışta cevap açıktır: Olamaz. Pozitif bir sayıyı kendisiyle çarparsanız sonuç pozitiftir; negatif bir sayıyı kendisiyle çarparsanız iki eksi birbirini götürür ve sonuç yine pozitif çıkar. Fakat matematikçiler, “Olamaz” denilen yerde durmak yerine sayı sistemini genişletmeyi seçti. Böylece karesi −1 olan bir birim tanımlandı: i² = −1. Adına da sanal birim denildi.
Sanal demek gerçek dışı demek mi?
Buradaki “sanal” sözcüğü biraz talihsizdir. Çünkü sanal sayılar uydurma, keyfî veya işe yaramaz değildir. Negatif sayılar da bir zamanlar anlamsız bulunuyordu. Üç elmadan beş elma çıkarılamayacağına göre −2 ne işe yarayabilirdi? Sonra borçları, sıcaklık farklarını ve yönleri anlatmak için negatif sayıların vazgeçilmez olduğu anlaşıldı. Sanal sayılar da benzer biçimde, eski sayı doğrusunun açıklayamadığı işlemleri mümkün kılan yeni bir boyuttur.
Gerçek sayıları yatay bir doğru üzerinde düşünün. Sağa gittikçe pozitif, sola gittikçe negatif değerlerle karşılaşırsınız. Sanal sayılar ise bu doğrunun dışına, dikey bir eksene açılır. Böylece sayı doğrusu bir düzleme dönüşür. a + bi biçimindeki bir karmaşık sayı, bu düzlemde bir noktadır: a yatay konumu, b ise dikey konumu gösterir. Matematik, tek şeritli bir yoldan iki boyutlu bir haritaya geçmiştir.
Çarpma işlemi nasıl dönüşe dönüşür?
Sanal sayıların en büyüleyici yanı, çarpma ile geometri arasında kurdukları bağdır. Bir sayıyı i ile çarpmak, karmaşık düzlemde onu 90 derece döndürmek anlamına gelir. İkinci kez i ile çarptığınızda toplam 180 derece dönersiniz ve sayının ters yönüne, yani negatifine ulaşırsınız. Bu nedenle i × i = −1 olur. Görünüşte tuhaf olan denklem, geometrik açıdan son derece düzenli bir hareketi anlatır.
Bu özellik, dalga ve salınım içeren problemleri olağanüstü biçimde sadeleştirir. Bir yayın titreşimi, alternatif elektrik akımı, radyo sinyali veya ses dalgası sürekli büyüklük ve yön değiştirir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıyla ayrı ayrı uğraşmak yerine bunları karmaşık sayılarla tek bir dönen hareket olarak temsil edebiliriz. Hesap tamamlandığında fiziksel olarak ölçülen gerçek kısım alınır. Sanal bölüm ise hesap boyunca yönü ve fazı taşıyan güçlü bir yardımcıdır.
Laboratuvardan cebimize
Elektrik mühendisleri alternatif akım devrelerini çözerken karmaşık sayıları kullanır. Direnç, bobin ve kondansatörün akıma verdiği farklı tepkiler, karmaşık empedans kavramıyla ortak bir dilde ifade edilir. Cep telefonlarının sinyal işlemesi, Wi-Fi bağlantıları, radar sistemleri ve tıbbi görüntüleme teknolojileri de Fourier dönüşümü gibi karmaşık sayılara dayanan yöntemlerden yararlanır. Başka bir deyişle “sanal” sayılar olmadan oldukça gerçek cihazlarımız ya çalışmaz ya da tasarımları çok daha zor hâle gelirdi.
Kuantum mekaniğinde durum daha da çarpıcıdır. Bir parçacığın durumu, karmaşık değerli bir dalga fonksiyonuyla betimlenir. Doğrudan ölçülen şey bu fonksiyonun kendisi değil, ondan hesaplanan olasılıklardır. Yine de sanal bileşen çıkarıldığında kuramın dinamiği bozulur. Doğa, bize ölçüm ekranında gerçek sayılar gösterirken perde arkasındaki hesabı karmaşık sayılarla yürütüyor gibidir.
Sanal sayılar yalnızca pratik değildir; Mandelbrot kümesi gibi fraktalların da kapısını açar. Basit bir karmaşık sayı işlemini tekrar tekrar uyguladığınızda sonsuz ayrıntıya sahip şaşırtıcı desenler doğar. Cebir, geometri ve sanat aynı yüzeyde buluşur. Bu desenler matematiğin sadece sonuç üreten bir araç değil, keşfedilecek yapılar barındıran yaratıcı bir evren olduğunu hatırlatır.
Sonuçta sanal sayılar, matematiğin imkânsızlıklarla nasıl başa çıktığını gösteren parlak bir örnektir: Sorunu reddetmek yerine düşünce alanını genişletmek. √−1, eski kurallar içinde bulunamaz; fakat daha geniş bir sistemde hem tutarlı hem de vazgeçilmezdir. Belki de en önemli ders budur: Bir şey mevcut haritamızda görünmüyorsa, sorun o şeyde değil haritanın boyutlarında olabilir.