En Fazla Kaç Kese Altın?

kese-altin

Elimizde, her birinin içinde 10’ar adet altın bulnan X adet torba var. Bu X adet torbadan sadece biri diğerlerinden daha ağır. Hem normal torbaların içlerindeki 10 altın birbirleriyle eşit hem de ağır torbanın içindeki 10 altın birbiriyle eşit. İki kefeli bir terazide, 3 tartı yaparak hatali torbayı bulmayı garantiliyorsak X en fazla kaç olabilir?

Terazi şu şekilde işliyor: Eğer sol kefeye 5 gr, sağ kefeye 2 gr koyarsanız tirazi 3’ü gösterir. Eğer sol kefeye 2 gr, sağ kefeye 5 gr koryarsanız terazi -3’ü gösterir.

Not: Altınları torbalardan istediğiniz gibi çıkarabilir, tekrar koyabilirsiniz.

Pi

Pi (π) nedir? Pi’yi ilk kim kullandı? Pi’nin değerini nasıl buluruz? Pi ne içindir? Pi sayısı kaç hanelidir?
Pi’nin tanımı, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranıdır. Hangi çemberi ele alırsanız alın Pi daima aynı değerdir. Kolaylık açısından Pi sayısı genelde yaklaşık bir değerde ele alınır. Birçok uygulamada 3,14159 değeri kullanılabilir. Ancak gerçekte Pi sayısının virgülden sonraki basamak sayısı sonsuza gitmektedir.
Pi-unrolled
Bir çemberin çevre uzunluğu, çapının π katıdır.

Pi’nin kısa bir tarihi

Pi sayısı eski bir sayıdır. Eski Mısırlıların ve Babillilerin belli bir Pi değerinin varlığından haberdar olduklarını bilmekteyiz. Ancak onlar da günümüzde olduğu gibi Pi’nin değerini tam olarak bilmemekteydiler. O tarihlerde de Pi’nin değerinin 3’ten biraz fazla olduğu bilinmekteydi, Babilliler yaklaşık bir değer olarak 3 1/8 (3,125)’i almışlardır, Mısırlılar ise biraz daha kötü bir değer olan 4*(8/9)2 (yaklaşık 3,160484) değerini yaklaşık Pi değeri olarak kabul etmişlerdir.

Çağımızın Pi sembolü (π) ilk olarak 1706 yılında William Jones tarafından kullanılmıştır. William Jones’un Pi’yi kullanması, onun eğik çizgilerin veya düzlemlerin uzunluklarını veya alanlarını bulmanın daha kolay yolu olabileceği düşüncesinden çıkmıştır.
pi
3.141592… şeklinde devam eden Pi sayısını temsil etmesi amacı ile yunan alfabesindeki Pi (π) harfi seçilmiştir, bunun nedeni ise iki boyutlu bir cismin çevre uzunluğunu ifade eden perijeria (peripheria) kelimesinin baş harfinin kullanılmak istenmesi olabilir.

Pi hakkında

Pi sayısı virgülden sonraki basamak sayısı sonsuza giden ondalık bir sayıdır. Ve Pi sayısının virgülden sonraki basamak değerleri belli bir yapıda tekrarlanmamaktadır. Örneğin 4,33333333… sayısının virgülden sonraki kısmının hepsi 3’tür, 88,123456789123456789… sayısının virgülden sonraki kısmı .123456789 yapısını tekrarlamaktadır. Birçok matemetikçi Pi sayısı için bu şekilde tekrarlanan bir yapı bulmak için uğraşmışsa da böyle bir yapı bulunamamıştır.

Tekrarlanan bir ondalık kısmı olmadığından ve ondalık kısmının sonsuza uzamasından dolayı Pi sayısı irrasyonel bir sayıdır, yani kesirli olarak ifade edilemez.

Gelişen bilgisayar teknolojisi sayesinde artık Pi sayısının değeri milyarlarca basamağa kadar bulunabilmektedir. Pi sayısının değerini istediğiniz basamak sayısına kadar elde edebileceğiniz bir internet sitesi de www.eveandersson.com/pi/digits’dir.

Satranç ve Ruh

satranc-siyah-beyaz

Satrançta insan zekası şartlı refleks veya alışkanlıkla açıklanmayacak bir özellik gösterir: yaratıcılık. Büyük satranççıların, çok satranç oynamak sonucu, bir çeşit otomatizm kazandığı ileri sürülmüştür. Büyük satranççı değişik satranç pozisyonlarına şartlanmıştır ve fazla düşünmeden en uygun hamleyi bulur; bir diğer deyişle oynadığı yüzlerce oyunun izleri belleğinde kalmakta ve o bir kompüter gibi belleğine baş vurarak en uygun hamleyi bulmaktadır. Gerçi satrançta pratik yapman önemi yadsınamaz, ancak unutmamak gerekir ki, satrancı çok oynayan herkes büyük satranççı olamamaktadır; nitekim bir insan çok konuşmakla hatip, çok şiir okumakla şair, çok keman çalmakla besteci de olamaz. Büyük satranççı için satranç teorisi ve geçmiş oyunlarda kazanılmış deneyimler elbette gereklidir; fakat bunlar yetmez Bir mucide de çalıştığı alandaki teorik bilgiler gereklidir, bir bestecinin elbette teorik müzik bilgisi olmalıdır, ancak bu teorik bilgiler “yaratıcılık” yolunu açmaz. Büyük satranççının hamlelerinde icada, keşfe, resim, heykel, ve beste yapışa, şiir, roman vb. yazışa benzeyen bir yaratıcılık vardır. Bütün yaratıcılarda ortak olan yön, geniş bir hayal gücü sayesinde gizli kalmış olanakları bulup çıkartmak ve bu yolla dünyayı değiştirmektir. Bir bilim adamının bir laboratuarı ve yeteneği bulunur, yapacağı keşif büyük ölçüde bu iki öğeye bağlıdır. Benzer olarak satranççının önünde pozisyon ve ruhunda yetenek vardır; en iyi hamleyi (veya satrancın şiiri denilen hamleyi) başlıca bu iki faktör belirleyecektir. Diğer faktörler, örneğin katılımla kazanılmış kişilik, duygular, tecrübe ve çevre de tabii rol oynar. Fakat bilim ve sanat alanında da görüldüğü gibi, büyük satranççılar diğer faktörler kendilerine karşı olduğu zaman bile, özel yetenekleri sayesinde turnuvaları kazanabilir.

Curielerin kötü laboratuarlarla, Bethooven’in kulakları ile savaştığı gibi, gerçek satranççılar da bir kere oyuna başladılar mı hiçbir şeyden etkilenmezler. Tabii gürültü hariç. Tüm dünyada satranç turnuvaları büyük bir sessizlik içinde yapılır. Seyirci turnuva salonuna alınmaz ve oyunları, binanın dışına asılmış büyük manyetik panolardan izler. Satrançta yenilginin tek sorumlusu oyuncunun kendisidir; kazandığında tek kahraman kendisi olduğu gibi. Satranç tek kişilerin yönettiği ordular arasında bir savaştır. Oyunun başında her iki tarafta eşit şansa sahiptir ve elinin altındaki kuvvetin başkomutanı durumundadır. Karşı tarafın yapması olası pek çok hamle vardır, fakat gerçek savaşta olduğu gibi her olasılığı değil, en olası olasılığı düşünerek hareket etmek gerekir. Çünkü zaten bütün olasılıkların sayısı düşünemeyeceğiniz kadar büyüktür.
Devamını oku “Satranç ve Ruh” →

En güzel formül

Euler Formülü
Bu özdeşlik bazı serilerin kaçınılmaz sonucudur.
Taylor açılımlarından elimizde şu seriler vardır.

ex=1+x/1!+(x2)/2!+(x3)/3!+(x4)/4!+…
sin(x)=x-(x3)/3!+(x5)/5!-(x7)/7!+…
cos(x)=1-(x2)/2!-(x4)/4!-(x6)/6!+…

i, nin kuvvetleri periyodik olarak 1, i, -1, -i değerlerini aldığından eix fonksiyonunun açılımı, terimleri düzenlendikten sonra, cos(x)+isin(x) olur.

eix = cos(x)+isin(x)

eşitliği sağlanıyorsa, x yerine π yazabiliriz.

Bu durumda,
cos π = -1
sin π = 0
olur, ve bağıntı eiπ = -1 haline dönüşür. Elbette bu şekilde bırakabiliriz, ama -1 i eşitliğin diğer tarafına alarak matematikte ki 5 önemli sabitin aynı denklemde bulundukları halini elde ederiz. Üstelik başka hiç bir katsayı olmadan en saf hallerini.

eipi

Cin ve Göl

Daire şeklinde bir gölün ortasında bir kayıktasınız. Ve göle giremeyen bir cin var. Cin, sizin göldeki hızınızdan 4 kat daha hızlı gidebiliyor. Ama karaya ulaştığınız noktada cin yoksa, koşarak kaçabiliyorsunuz.

Soru şu; Cin e yakalanmadan çıkabilir misiniz? Eğer evet ise nasıl bir yol izlemelisiniz?