Bir makinenin karşısına oturduğunuzu düşünün. Makine bütün matematik teoremlerini, kanıt yöntemlerini ve mantık kurallarını biliyor. Ona dilediğiniz soruyu soruyorsunuz; dişlileri dönüyor, sembolleri dans ediyor ve cevaplar ekrana dökülüyor. Peki bu makine, matematiğin tamamını kavrayabilir mi? Kurt Gödel’in 1931’de yayımladığı eksiklik teoremleri, bu hayalin ortasına küçük ama patlayıcı bir cümle bıraktı: Yeterince güçlü ve tutarlı hiçbir biçimsel sistem, kendi içindeki bütün matematiksel doğruları kanıtlayamaz.
Gödel’in Mantık Labirenti
Gödel’in yaptığı şey, kabaca, bir matematik sistemine kendisi hakkında konuşmayı öğretmekti. Ardından sistem içinde şu anlama gelen bir önerme kurdu: “Bu önerme bu sistemde kanıtlanamaz.” Sistem bu önermeyi kanıtlarsa çelişkiye düşer; kanıtlayamazsa, önerme doğru olduğu hâlde sistem tarafından kanıtlanamayan bir gerçek olarak kalır. Böylece matematiksel hakikat ile mekanik kanıtlanabilirlik arasındaki mesafe görünür olur.
